이변량 정규분포의 산점도와 상관계수

표본상관계수는

1. 두 변수에 대한 선형성의 척도로 -1 ~ 1 사이의 값으로 표현되며
2. 양수는 양의 상관관계, 음수는 음의 상관관계를 의미하고
3. 0은 두 변수간 선형성이 없음을 의미한다. 즉 두 변수는 비 선형성 관계가 있을 수도 있다.

1. Box-Muller 변환으로 서로 독립인 표준정규분포 ${\bf Z}= (Z_1, Z_2)^T$를 만든다.
   $$ \begin{eqnarray} Z_1 & = & \sqrt{-2\log U_1}\cos(2\pi U_2) \\ Z_2 & = & \sqrt{-2\log U_1}\sin(2\pi U_2) \end{eqnarray} $$
2. 분산-공분산 행렬 ${\bf \Sigma}$은 양정치 행렬이고 대칭 행렬이므로 Cholesky 분해가 가능하다.
   $$ \begin{eqnarray} {\bf \Sigma} &=& \left [ \begin{array}{cc} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{array} \right ] \nonumber \\ &=& \left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ \rho & \sqrt{1-\rho^2} \end{array} \right ]\cdot \left [ \begin{array}{cc} 1 & \rho \\ 0 & \sqrt{1-\rho^2} \end{array} \right ] \nonumber \\ &=& {\bf CC}^T \nonumber \end{eqnarray} $$
3. 이변량 정규분포의 확률벡터 ${\bf X}$는 다음과 같이 나타내며
   $$ \begin{eqnarray} {\bf X}&=&{\bf CZ} \\ \left [ \begin{array}{c} X_1 \\ X_2 \end{array} \right ] \nonumber &=& \left [ \begin{array}{c} Z_1 \\ \rho Z_1 + \sqrt{1-\rho^2}Z_2 \end{array} \right ] \nonumber \end{eqnarray} $$
4. 확률벡터 ${\bf X}$의 분산-공분산 행렬 ${\bf \Sigma}$은 다음과 같다.
   $$Var({\bf X}) = {\bf CIC}^T = {\bf CC}^T = {\bf\Sigma} $$

전자교재 사용방법

1. Input
   • Plot Correlation Coefficient : 이 메뉴를 선택하면
     1. 선점도 작성에 필요한 자료의 개수를 입력하는 팝업창에 자료의 개수를 입력하고 "확인" 버튼을 누르면
     2. 상관계수를 입력하는 팝업창이 나타나고, 여기에 상관계수의 범위에 해당되는 -1에서 1 사이의 실수를 입력하면
     3. 입력한 자료의 수와 상관계수에 대한 이변량 정규분포의 난수를 발생하여 그 자료로 산점도와 단순회귀직선을 그려준다.